Всеукраїнський день бібліотек - 30 вересня

 Всеукраїнський день бібліотек - 30 вересня

Робота з користувачами в шкільній бібліотеці

Робота з користувачами в шкільній бібліотеці

Білогірський  районний  методичний  кабінет

Микласька  ЗОШ  І-ІІ ступенів

М.Я.Дашкевича

Функціональний  метод  розв’язування  рівнянь, нерівностей  і  задач

с. Миклаші

2014 р.

                  

                                     

          У роботі  вміщено  теоретичні  основи  та  приклади  розв`язування  рівнянь, нерівностей  і  задач  функціональним  методом,  тобто  використанням  відомих  учням  властивостей  функцій  для  визначення  кількості  розв`язків  та  їх  знаходження  більш  раціональним  методом  ніж  методи  рівносильних  тотожних  перетворень,  розкладання  на  множники,  заміни  змінних  та  інших,  а  також  систематизовано  відповідні  прийоми  та  алгоритми,  проаналізовано  переваги  і  межі  застосування.

         Матеріали роботи можуть  бути  корисними  вчителям  математики  та  учням  шкіл  при  підготовці  до  олімпіад  різних  рівнів.

   Рецензент: Пастернак  О. І.

                                                       

Зміст

Вступ…………………………………………………..…...…..……5.

Розділ І

1.1. Загальні відомості………………………    ……………6.

          1.2.Про математику змінних величин…………….…..….7.

          1.3.Властивості  функцій як основа функціонального методу……….7.             

 Розділ ІІ

2.1.Розв’язування рівнянь і нерівностей функціональним методом..10.       

          2.2.Розв’язування задач на екстремум……  ......................16.

          2.3 Додаток                                                                                 23

Висновки……………………………………...… …………….....21.

Список  використаних джерел……………………….………....23.

Перелік умовних позначень,  символів, скорочень і термінів

1.    D(y) або D(f)– область визначення функції

2.    E(y) – множина значень функції

3.    А В – переріз  множини (їх спільна частина)

4.   

5.   

6.

7.

8. ОДЗ – область допустимих значень рівняння

      9. maxf(x) – максимум функції на проміжку М

             М

     10. minf(x) – мінімум функції  на проміжку М

             М

     11. А  – об’єднання множин А і В, сукупність елементів

відсутністьрозв’язків

 – множина, що складається з елементів 1;3

 - не належить

 - що її потрібно було довести

 - знак системи рівнянь або нерівностей

Вступ

    Вивчення  у 9 класі властивостей функцій та аналіз  прикладів їх використання при розв’язуванні рівнянь і нерівностей різних типів, детальне вивчення властивостей квадратичної функції  наштовхнуло на думку зібрати і систематизувати матеріал, що стосується застосовування функціонального методу розв’язування задач, рівнянь і нерівностей. Надто цей метод  виділяється з використовуваних нами раніше прийомів ланцюжкових тотожних перетворень рівнянь, розкладання на  множники, заміни змінних своєю логічною завершеністю, зручністю  у використанні. А в підручнику матеріал окремо не виділений, розкиданий по пунктах і параграфах,відсутній сам термін «функціональний  метод»,окремі  властивості  функцій  описані  без  показу прикладів їх використання.

      Мета роботи :

1.Систематизація властивостей відомих   функцій, які найчастіше використовуються при розв’язувані рівнянь і нерівностей,задач  геометричного змісту.

2.Показати на конкретних прикладах,  як саме можна розв’язати  рівняння, нерівність або задачу, використовуючи ту чи іншу властивість функцій,складання  алгоритмів їх  розв`язування.

3.Показати зв’язок  властивостей  квадратичної  функції    з методами  розв`язування   геометричних задач  на максимум і мінімум.

4.Виділити  типи  рівнянь,які  можна  розв`язувати  запропонованим методом.

Розділ І

Загальні відомості

1.1.Характеристика джерел та огляд  літератури.

 Дана тема  висвітлюється в підручнику Алгебра 9, проте  неповно  і  безсистемно.В підручнику для класів з поглибленим вивченням математики  А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонський, М.С.Якір  «Гімназія»2010 

 описано загальні теоретичні положення, наведено приклади функцій і їх властивості,  достатньо прикладів і вправ на застосування  властивостей функцій. Проте тема функціонального  методу не виділена окремо, відсутній сам термін, матеріал розкиданий по восьми пунктах двох параграфів, відсутні задачі на максимум і мінімум, оглядово подано застосування властивостей функцій до розв’язування нерівностей.

       У посібнику  Федак В.І. Розв’язування рівнянь. Доведення  нерівностей. Тернопіль. 1997р. автор  наводить  ряд    цікавих прикладів, проте не акцентує увагу, які  саме властивості функцій використовуються, термін «функціональний метод» теж  відсутній.

Завало С.Т. Рівняння і нерівності. Київ. 1973. У розв’язаних зразках наголосу на використанні властивостей певних функцій не робиться, більшість з них розв’язані традиційними методами. Проте, як і в цьому посібнику, так і Тадеєва В.О. Побудова графіків функцій. Тернопіль. 2003р. показано використання графіків функцій при дослідженні кількості розв’язків та при розв’язуванні рівнянь і нерівностей.    

Проте графічний метод є лише частиною загального функціонального  методу, суть і застосування якого викладена вище.

Вперше термін «функціональний метод» без визначення  застосований  Брусило 3.0.   Вразила також красота і доцільність розв’язування задач геометричного змісту з використанням властивостей функції у статті Бегерської  А.В. (журнал  «Математика в школах України» №30 2011 рік « Задачі оптимізації»)  [8]

1.2.Про математику змінних величин

Тільки у ХVІІ столітті після фундаментальних відкриттів Галілея і Ньютона мова нового дослідного природознавства суттєво збагатилась за рахунок математики змінних величин, основним математичним поняттям якої стало поняття функції. Про роль поняття функції Ньютон писав: «Я не зміг би отримати багатьох своїх фундаментальних результатів, якби не відмовився від безпосереднього розгляду самих тіл і не звів усе до дослідження функції» [3].

Водночас поняття функції має важливе застосування і в самій математиці – через метод координат, відкритий французькими вченими Рене Декартом і П’єром  Ферма.

  Урешті – решт дослідження функції стало розглядатись як основне завдання математики. І найвидатніший математик ХVІІІ століття Леонард  Ейлер писав «Уся нова математика обертається навколо змінних та їх функції» [3]

1.3.Властивості функції як основа функціонального методу

Властивості функції, які доцільно використовувати при розв’язування задач, рівнянь і нерівностей  викладу  у формі системи тверджень, які і будуть теоретичною основою функціонального методу, і далі, при розв’язуванні вправ, посилатимемось на номер відповідного твердження (властивості функцій).

      Т.1 Якщо функцію y=f(x) можна подати у вигляді добутку деяких інших функцій:f(x)=f₁(x)₁∙f₂(x),     то рівняння f(x)=0⇔

      Т.2.  Рівняння  -  це рівність функції або  їх сум. Розв’язком рівняння є абсциси точок перетину графіків функції .

      Т.3. Сума  кількох  невід’ємних функцій дорівнює нулю тоді і тільки, коли всі функції одночасно дорівнюють нулю.

      Т.4. Якщо в рівнянні f(x)=а  функція f(x)- зростає (спадає)на деякому проміжку, то це рівняння може мати не більш ніж один корінь на цьому проміжку.

      Т.5.Якщо одна з функції f або q є зростаюча на множині D(f) ∩ D(q), а інша – спадною на цій множині, то рівняння f(x)=q(x) має не більше одного кореня [1].

      Т.6. Якщо функція f є зростаюча, то рівняння f(f(x))=x⇔f(x)=x    [1]

      Т.7. Якщо для будь-яких  х D(f)∩D(q)   f(x)≤A₁ ,аq(x) ≥А₁ то

f(x)=q(x)⇔                    [1]

      Т.8. ОДЗ (f(x)=q(x)) = D(f)∩D(q).

      Т.9. Якщо ОДЗ (f(x)=q(x)) складається з скінченого  числа значень, то для розв’язання  рівняння досить перевірити всі ці значення .

       Т.10. Якщо E(x)=[a;b] і f(x) зростаюча , то a≤f(x)≤b.

       Т.11. Якщо f(x) – монотонна на множині М функція(зростаюча або спадна), то                          f(q(x))=f(h(x))⇔

Т.12. Якщо функція y=f(x) – зростаюча, то у=  (обернена) спадна, спадною і є функція  -f(x) .

       Т.13 Нулі парної функції симетричні відносно початку координат.

       Т.14 Квадратний тричлен ax²+bx+c  має  найменше (а  чи найбільше (а  значення при х=-  .

При розв’язуванні задач на максимум і мінімум часто використовуються такі додаткові твердження:

  Т.15.        (нерівність Коші)

Т.16. Для  наборів чисел (a₁,a₂,∙∙∙,a_n),(b₁,b₂,∙∙∙,b_n)справджується нерівність (a₁b₁+a₂b₂+∙∙∙+a_nb_n)² (a₁²+a₂² +∙∙∙+а_n²)(b₁²+b₂²+∙∙∙+b_n²)  (нерівність Коші –Буняковського).

        Т.17 Функція Z=  (P›0) приx 0 має minпри x₀=   і тільки при цьому значення x₀     [8]

Твердження (1-14) становлять теоретичну базу функціонального методу. Нижче  буде показано, як їх використовувати у кожному конкретному випадку. Твердження (15-17) використовуються при розв’язуванні  нерівностей та задач на максимум та мінімум.

Розділ ІІ.

2.1.Розв’язання  рівнянь і нерівностей функціональним методом

Показуємо, як працює  функціональний метод на прикладах розв’язування  конкретних рівнянь, нерівностей і задач з посиланням на номер твердження (див.1.3)

2.1.1.Застосування скінченної ОДЗ рівняння (T8;T9)

Розв’яжіть рівняння

Розв’язання: ОДЗ

Перевіряємо, чи є числа 1 і 3 коренями даного рівняння

X=1,   - корінь рівняння

X=3, 0 6+2  не є коренем рівняння

Відповідь: х=1.

Спроба розв’язати дане рівняння традиційним шляхом тотожних перетворень виявилася надто  громіздкою.

2.1.2. За оцінкою множини   значень  ліво ї  і  правої частини  рівняння(Т.7)

          Розв’язати рівняння x²-6x+1

Розв’язання:

Дане рівняння видуf(x)=q(x). Оцінимо значення f(x)= ;   iq(x)=x²-6x+1.

ОДЗ: x [2;4].

Маємо:q(x)=x²-6x+9+2=(x-3)²+2≥2.

f(x): для наборів ( ) i (1;1) застосовуємо нерівність Коші - Буняковського (Т.16)

f(x)²=(  + )²=( )² (( )²+( )²)*

*(1²+1²)=(x-2+4-x)*2=4,     f(x)² 4 f(x) 2

Отже за(T.7) дане рівняння рівносильне системі.( т7)

Корінь x=3 другого рівняння  також є коренем першого рівняння

                                      Відповідь:  x=3.

2.1.3. Використання властивостей суми кількох невід’ємних функцій (Т.3)

Розв’яжіть рівняння: |x²-5x+6|+|x²-9|+|9-3x|=0

Розв’язання:  так як |x²-5x+6|≥0,|x²-9|≥0; і  |9-3x|≥0, то задане рівняння рівносильне системі:

⟺ ⟺x=3.

Відповідь: х=3.

2.1.4. Використання  монотонності  функції (Т.4)

Розв’яжіть рівняння  2x⁷+x⁵+x=4

Розв’язання:  дане рівняння виду f(x)=a, де f(x) зростаюча функція як сума зростаючих функцій. Отже,  дане рівняння має згідно (Т.4) один корінь.

Неважко помітити, що це буде  число 1.

Відповідь: х=1.

2.1.5.  Використання монотонності функцій (Т.5)

Розв’яжіть рівняння x²+ = +15

Розв’язання:  дане рівняння виду f(x)=q(x), причому f(x) – зростаюча функція, q(x) – спадна. Отже, дане рівняння має один корінь. Неважко його підібрати.   x=4

Відповідь: х= 4.

2.1.6.  Використання властивостей зростаючої функції (Т.6)

Розв’язати: рівняння =x

Розв’язання: якщо розглядати функцію f(x)= , то дане рівняння можна подати у вигляді  f(f(x))=x, причому функціяf(x) - зростаюча. Згідно (Т.6) дане рівняння рівносильне рівнянню f(x)=x

⟺ ОДЗ: [0 ;∞)

6+x=x²,  x²-x-6=0,x₁=3   x₂=-2 (За теоремою Вієта)

х₂=-2 D(x).

Відповідь: х=3.

2.1.7  Властивості парної  функції (Т.13)

При яких значеннях параметра а рівняння 2ax⁴+|x|+x²=a²-1 має єдиний корінь?

Розв’язання:  розглянемо функцію f(x)=2ax⁴+|x|+x²-a²+1.

Вона є парною, так як f(x)=f(-x). Тому, коли рівняння f(x)=0 має корінь  x₀, то воно також має корінь –х₀. Оскільки дане рівняння повинно мати один корінь, то x₀=-x₀=0. Необхідно,  щоб x=0 було коренем  даного рівняння.

Підставимо x=0 у рівняння f(x)=0. Тоді a^2_1=0. Отже,a= і x=0 є корінь рівняння. Перевіримо чи він єдиний при a=±1.

1) а=1,  2x⁴+|x|+x²=0.  Згідно (Т.3), коли 2х⁴  0, |х|  то це рівняння має єдиний корінь х=0.

2) ) а=-1,  -2x⁴+|x|+x²=0. Це рівняння крім x=0, має і інші корені, наприклад x=1. Отже, a=-1  не підходить.

Відповідь:  при   a=1 рівняння має один корінь x=0.

2.1.8 Розв`яжемо ще одну «олімпіадну» задачу на основі (Т.13)

При яких значеннях параметра а рівняння аx⁶+1=a²  має єдиний корінь?

Розв’язання: розглянемо функцію f(x)=ax⁶+1-a²  . Вона є парною,

f(-x)=f(x), а тому має єдиний корінь х=0. Підставивши x=0 в дане рівняння  маємо a*+1=a²* :  а²=1   а=

При а=1, рівняння   згідно (Т.5) має один корінь.

При а=-1, рівняння        має і інші корені крім х=0. Наприклад  х=1.

Відповідь: а=1.

2.1.9. Т.2 є основою функціонально – графічного методу розв`язування рівнянь і нерівностей

Визначати кількість коренів рівнянь │x-a│+2│x+1│=3 залежно від значення параметра  а.

Розв’язання:  │х-а│=3-2│х+1│

 Розглянемо  функції f (х)=│х -а│і q(x)=3-2│х+1│. З’ясуємо, скільки точок перетину залежно від значення параметра а мають графіки функцій f (х) і q(x).

Графіком f (х) є сім`я графіків, розміщених залежно від а. Значення параметра а можна знайти, підставивши у рівняння у= │х -а│ координати точки С.

Маємо 3=│-1-а│⇒а=-4 або а=2

Отже,  А(-4;0), В(2;0).

Відповідь:

 1) Якщо а<-4 або а>2,  то  ø.

2) Якщо а=-4 або а=2,  то один корінь.

 3) Якщо -4<а<2,   то два корені.

2.1.10.  Доведення нерівностей на основі властивостей функцій (Т.10).

Відомо, що х є [0;1], у є [0;1],  z є [0;1]

Довести нерівність  x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)≤1

Розв’язання: розглянемо різницю лівої  і правої частини нерівності.

х(1-y)+y(1-z)+z(1-x)-1=x(1-y-z)-yz+y+z-1

Вважаючи y і z параметрами, розглянемо функцію f(x)=(1-y-z)х-yz+y+z-1, вона є лінійною і при D(f)=[0;1] її графіком є відрізок. Свого найбільшого значення f(x) набуває на одному з кінців відрізка. Маємо:

f(0)=-yz+y+z-1=-(y-1)(z-1)≤0

f(1)=1-y-z-yz+y+z-1=-yz≤0

Отже,  f (0) ≤0,  f(1)≤0. Тому maх f(х)≤0. Це означає, що для будь-якого  х f( х )≤0, а тому х(1-у)+у(1-z)+z(1-x)≤1. [1]

2.1.11.  Розв’язати систему нерівностей

Розв’язання: в системі координат Оху  будуємо графіки функції

f(x)=   і  q(x)=│x│-2.

Відповідь:  розв’язками системи нерівностей  є  координати точок заштрихованої  фігури.

2.2.  Задачі на екстремум (мінімум та максимум)

У світі не відбувається нічого, в чому не було б видно суті якого-небудь максимуму або мінімуму/.8/

  Л.Ейлер

У математиці,галузях виробництва, у житті зустрічається особливий тип математичних задач – так звані задачі на максимум і мінімум:  як за різноманітних можливостей використання наявних засобів отримати найкращий ефект.

Будуємо математичну модель екстремальної задачі за планом:

1)вибір найважливішої ознаки оптимальності.

2)опис умови задачі у вигляді рівняння, рисунка, математичних співвідношень;

3)вибір найкращого елементарного способу розв’язати серед кількох  можливих, зокрема функціональним методом з використанням властивостей функцій.

2.2.1.

Вписати у заданий круг прямокутник найбільшої площі

(задача Кеплера)

Розв’язання: І спосіб. Дано круг з діаметром d і в нього вписано прямокутник,діагональ якого є діаметром круга. Якщо одна з сторін прямокутника x,то друга - , а площа

S_пр. = x = . Оцінимо величинуS,використавши нерівність Коші:

ІІ спосіб (функціональний).  Обмеженість області значень функції (Т.10) . Так як sinα 1, S_пр=0,5d² sinα, де α – кут між діагоналями прямокутника. Тоді S_max= . Отже, найбільшу площу матиме квадрат.  ∆

Порівняння цих методів на користь останнього.

2.2.2

Розкласти число 8 на 2 доданки так, щоб їх добуток був найбільшим

Розв’язання. Позначимо один з доданків через x, тоді другий 8-x, а їх добуток y=x(8-x),  у =-x²+8x. Найбільше значення квадратичної функції  при  а<0 рівне при x= (T.14). Отже,  при

Відповідь:  8=4+4

2.2.3

Є дріт довжини L. Треба зігнути його так, щоб дістати прямокутник, що обмежує найбільшу площу.

Розв’язання:  нехай одна сторона прямокутника x,тоді друга - x, а площа

S=x ( -x) = -x² + x.

Функція f(x) набуває максимуму при x= = =   що й буде шуканим значенням.  Друга сторона  .  Отже, шуканий прямокутник є квадратом.

 Відповідь:  , 

Висновок: при заданому периметрі найбільшу площу обмежує квадрат.

2.2.4.

На території  птахоферми треба відгородити металевою сіткою, довжиною 200м,  ділянку прямокутної форми, що прилягатиме  до загальної огорожі ферми прямолінійної форми. Які мають бути розміри ділянки,  щоб її площа була найбільшою?

Розв’язання:

Якщо одна з сторін ділянки х м, то друга -   200-2х, а її площа

S=x(200-2x)=-2x²+200x. Найбільшого значення ця функція S(x) набуває приx=50, тоді друга сторона 100м.

Відповідь: 50м, 50м, 100м.

2.2.5.

Знайти два числа, різниця яких дорівнює 5, а добуток - найменший з можливих.

 Розв’язання:

Нехай одне з чисел х, тоді друге х+5, їх добуток у =х(х+5)=х²+5х, х₀=- =-2.5

Згідно  (Т.14) ця функція найменшого значення набуває при х=-2,5, друге число 2,5

Відповідь:  -2,5;   2,5.

2.2.6.

Додатне число а подати у вигляді суми двох чисел так, щоб сума їх кубів була найменшою.

Розв’язання:  нехай одне з чисел х, тоді друге а-х,  сума їх кубів

у=х³+(а - х)³=3ах²+3а²х+а³

Ця квадратична функція набуває найменшого значення в точці х= друге число -    .

Відповідь:

2.2.7.

При якому дійсному значенні  р сума квадратів коренів рівняння 

х²+рх+р-2=0 буде найменшою?

Розв’язання: нехай х₁ і х₂ – корені цього рівняння. Тоді за теоремо Вієта

х₁+х₂=-р,   х₁х₂=р-2,  а тому f(x)=x₁²+x₁² -2x₁x₂=(-p)²-

-2(p-2) =p²-2p+4

Дана квадратична функція має мінімум за (Т.14)

при р = = =1

Відповідь: р=1.

2.2.8.  Число 49 розкласти на два  додатних множники так, щоб  їх  сума була найменшою  з  усіх  можливих.

Розв’язання:

Нехай х – перший множник, тоді  другий множник, їх сума

 у = х +

За (Т.17) функція у досягне свого найменшого значення в точці х₀=  =7.  Отже, перший множник 7, тоді і другий множник теж 7.

Відповідь: 7 і 7.

2.2.9.

 Деяке додатне число  додали до оберненого йому числа, причому суму дістали найменшу   з   можливих. Знайти це число.

Розв’язання:  Нехай х- дане число, тоді  - обернене йому число. Їх  сума

у= х +  . За (Т.17) функція набуває свого найменшого значення при х₀=  =1

Відповідь: 1.

Висновки

1.Аналіз виконаних  вправ на розв’язування рівнянь, нерівностей і задач з використанням властивостей функції дає підставу стверджувати про можливість виділення групи цих способів в окремий функціональний метод  розв’язування рівнянь і нерівностей, який має значні переваги над методами тотожних, рівносильних перетворень, розкладанням на множники або підстановки, замінює їх в багатьох  випадках або доповнює, спрощуючи розв’язування.

2.Функціональний метод  доцільно використовувати до таких типів рівнянь:

2.1. Рівність суми кількох невід`ємних функцій нулю

Тоді  f₁(x)+f₂(x)+…+f_n(x)

2.2. Якщо ОДЗ рівняння складається із скінченого числа значень і є можливістю перевірити всі ці значення.

2.3. Якщо f(x) – монотонна  (зростаюча або спадна) на множині М функція, тоді f(g(x))=f(h(x))⟺

2.4.Якщо в рівнянні f(x)=a функції f(x)– монотонна на множині М, тоді це рівняння може мати не більше ніж один корінь на М.

2.5. Рівняння f(x)=q(x),  якщо одна з функцій спадна, а друга зростаюча на множинні D(f) D(q) (тоді рівняння теж має не більше, як один корінь на цій множині. )

2.6. Рівняння  виду f(f(х))=x,  якщо f(x) є зростаюча, тоді f(f(x))=x⟺f(x)=х.

2.7. Рівняння виду f(x)=q(x),якщоx D(f) D(q) f(x) Aiq(x)

тоді f(x)=q(x) ⟺

2.8. Рівнянняf(x)=0, якщо функція f(x)- парна, так як нулі парної функції симетричні відносно 0.

 3. При розв’язувані задач на екстремум  доцільно використовувати властивості квадратного тричлена, зокрема, значення абсциси його вершини х=   та ординати

 4. Все вищесказане підтверджує думку про те, що розв’язування рівнянь, нерівностей і задач функціональним методом значно оптимізує розв’язування задач і вправ, зменшуючи об’єм перетворень і обчислень та час роботи.

  5. Викладений у табличній формі матеріал даної роботи (див. додаток 1) є зручним посібником при роботі на уроці і вдома, з задоволенням використовується  учнями.

                          Список використаних джерел

1.    Мерзляк А.Г. Алгебра. Підручник для 9^го класу з поглибленим вивченням  математики Харків Гімназія 2010.

2.    Гориштейн  П.І., Полонський Р.Б., Якір М.С.  Задачі з параметрами Київ Текет 1992

3.    Тадеєв В.О. Побудова графіків функції Тернопіль 2003

4.    Федак В.І. Розв’язування рівнянь. Доведення нерівностей Тернопіль 1997

5.    Яремчук Ф.П. Алгебра та елементарні функції К. Наукова думка 1987

6.    Завало С.Т.  Рівняння і нерівності Київ «Рад. шк.» 1973

7.    Давид О.М. Розв’язування ірраціональних рівнянь Харків Основа2011.

8.    Бегерська А.В. Задачі оптимізації Харків Основа 2011

9.    Брусило З.О. Розвиток у майбутніх викладачів математики умінь розв’язування  рівнянь і нерівностей функціональним методом. Донецьк 2011.

Додаток 1  

до роботи (Функціональний метод розв’язування рівнянь, нерівностей і задач)

До Т.3. =0⇔⇔ ⇔ ⇔ х=3,дані   функції невід’ємні.  Відповідь: 3	Т.3. Сума кількох невід’ємних функцій рівна нулю, тоді і тільки тоді, коли всі функції дорівнюють нулю.
До Т.8.Т.9 ОДЗ=D(f) D(g) D(h)= ⇒ x{1;3} Перевіряємо числа 1, 3             Відповідь: 1	Т.8,Т.9. Застосування скінченної ОДЗ (ОДЗ(f(x)+g(x)+h(x))= =D(f) D(g) D(h)
До Т.6             = х ⇔                ОДЗ:[0; ) 6+х=х2,          х2-х-6=0,      х1=3    х2=-2 Відповідь: 3	Т.6.  Якщо f(x)- зростаюча,  то рівняння f(f(x))=x⇔f(x)=x
До Т.5                       x2+ = Дане рівняння виду f(x)=g(x), причому f(x)- зростаюча, g(x)- спадна. Дане рівняння має 1 корінь. Його неважко підібрати. Відповідь: 4	Т.5 Використання монотонності функції: якщо в рівнянні виду f(x)=g(x) дані функції одна зростаюча,а друга спадна, то дане рівняння має  не більше 1 кореня
До Т.13             2ax4+ +x2=a2-1. При якому а рівняння має єдиний корінь? f(x)=2ах2+ + х2-а2+1 – парна ( f(-x)= f(x)).  Отже, х0=-х0=0.   Х=0 – корінь рівняння. Тоді а2-1=0,   . Перевіримо, чи  рівняння має єдиний корінь. 1)   При   а=1,  х=0 2)   При а=-1,  х=0, х=1 і т.д. Відповідь: при а=1 рівняння має один корінь.	Т.13. Властивості нулів парної функції (вони симетричні відносно початку координат )
До Т.10. Довести нерівність, якщо х [0;1], у [0;1],  z [0;1], то x(1-y)+(1-z)+z(1-x) . Розв’язання. Розглянемо різницю лівої і правої частини x(1-y)+(1-z)+z(1-x)-1=x(1-y-z)-yz+ y+z+1 функція f(x)= (1-y-z)x-yz+ y+z-1, де у і z параметри, лінійна і при D(f)=[0;1] її графіком є відрізок, max f(x)  вона набуває на одному з кінців  D(f). А так як f(0) , f(1)  то  max f(x) , а тому  x(1-y)+(1-z)+z(1-x)	Т.10.  Використання обмеженості області визначення. Якщо  Е(х)=[а;b], i f(x)-зростаюча, то а  f(x) .
До Т. 4. х7+х5+х=4. Розв’язання  f(x)=2х7+х5+х – зростаюча, тому рівняння має 1 корінь. Неважко помітити що це буде 1 Відповідь: х=1	Т.4   Використання монотонності функції. Рівняння f(x)=а має 1 корінь, якщо  f(x)- монотонна (зростаюча або спадна )
До Т.14. Розкласти число 8 на доданки так, щоб їх добуток був найбільшим. Розв’язання      І – х, ІІ – 8-х, їх добуток   у= х(8-х)=-х2+8х.      y0= =4        при     х=4                             Відповідь: 8=4+4.	Т.14  ах2+bx+c – має екстремум  y0=   при x0=
До Т.7.  ; f(x)= ,   g(x)= . g(x)=(x-3)2+2 .   До наборів );  (1;1) застосуємо нерівність Коші - Буняковського : = *1+ *1 * =                    = =2  Отже, .  Тоді задане рівняння рівносильне системі Відповідь: х=3	Т.7 Якщо для  то f(x)=g(x)⇔

ВПРАВИ  ДЛЯ  САМОСТІЙНОГО  РОЗВ`ЯЗУВАННЯ

1.Дано  функцію  f(x)=x²+2x.  Розв`яжіть  рівняння  f(f(f(x)))=0.                         Т(6).

2. Дано  функцію  f(x)=x²+10x+20. Розв`яжіть   рівняння f(f(f(x)))=x.                 Т(6)    

3.Розв`язати   рівняння                                                                                                   

А) x⁵+x³+x =-3                                                                                        Т(4)

                                                                                                      

Б)  2x⁷+x⁵+x=4                                                                             Т(4)

В)  x³+ =                                                                                  Т(5)

Г)   +  +   =9                                                                                Т(4)

Д)  x² +                                                                 Т(5) 

Е)                               Т(7)

                                                                                    

Є)                                                                  Т(7)  Т(16)

ж)                                                               Т(6)

з)         2x                                                        Т(5)       

     3.  При  яких  значеннях  параметра  а  рівняння  ax⁶ +1=a²   має  єдиний  корінь?  Т(13)

     4.  Скільки   коренів  залежно  від  параметра  а  має  рівняння  2-x²=  ?     Т(2)

     5.  Знайдіть  найбільше  і  найменше  значення  функції 

                            Y= -  +  2                                          Т(10)

      6.  При  яких  значеннях  параметра  а  рівняння   має  три  корені?       Т(1), Т(2)

 =0?    

         7.При  яких  значеннях  параметра  а  сума  квадратів  коренів  рівняння

² –   буде  найменшою ?                              Т(14)

8.  Доведіть  нерівність   + ≤ b + с + a +1, якщо

, ,   Т(10),Т(14)